设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E．求证：CD•EF+DF•AE=BD•

题型：不详难度：来源：

设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E．求证：CD•EF+DF•AE=BD•AF．

答案

证明：设AF的延长线交⊙BDF于K，
∵∠AEF=∠AKB，
∴△AEF～△AKB，因此

EF

AF

=

BK

AB

，

AE

AF

=

AK

AB

．
于是要证CD•EF+DF•AE=BD•AF（1），只需证明：CD•BK+DF•AK=BD•AB（2）
又注意到∠KBD=∠KFD=∠C．
我们有S△DCK=

1

2

CD•BK•sin∠C
进一步有

S△ABD= 1 2 BD•AB•sin∠C S△ADK= 1 2 AK•DF•sin∠C

因此要证（2），只需证明S_△ABD=S_△DCK+S_△ADK（3）
而（3）⇔S_△ABC=S_△AKC⇔BK∥AC（4）
事实上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知（4）成立，得证．