如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC， （Ⅰ）求证：FB=FC； （Ⅱ）求证：

题型：河南省模拟题难度：来源：

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC，
（Ⅰ）求证：FB=FC；
（Ⅱ）求证：FB²=FA·FD；
（Ⅲ）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长。

答案

解：（Ⅰ）∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵四边形AFBC内接于圆，
∴∠DAC=∠FBC，
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC；
（Ⅱ）∵∠FAB=∠FCB=∠FBC，∠AFB=∠BFD，
∴△FBA∽△FDB，
∴，
∴FB²=FA·FD；
（Ⅲ）∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠EAC=120°，
∴∠DAC=∠EAC=60°，∠BAC=60°，
∴∠D=30°，
∵BC=6，
∴，
∴AD=2AC=。