（文科）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（Ⅰ）求证：PA=PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长度．

题型：不详难度：来源：

（文科）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．
（Ⅰ）求证：PA=PC；
（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长度．

答案

证明：（I）∵PA与圆O相切于点A，
∴∠PAB=∠ADB
∵BD为圆O的直径，
∴∠BAD=90°
∴∠ADB=90°-∠B
∵BD⊥OP，
∴∠BCO=90°-∠B
∴∠BCO=∠PCA=∠PAB
即△PAC为等腰三角形
∴PA=PC；
（Ⅱ）由题意得 Rt△AOP中，cos∠AOP=

OA

OP

=

3

5

，cos

∠AOP

2

=

2 5

5

，sin

∠AOP

2

=

5

5

；
∴∠AOB=

π

2

+∠AOP，
∴等腰三角形AOB中，∠OBC=

π-(  π 2 +∠AOP)

2

=

π

4

-

∠AOP

2

，
由和差角公式得：cos∠OBC=

3 10

10

．
在Rt△BOC中，BC=

OB

cos∠OBC

=

3

3 10 10

=

10

．