(1)证明:∵∠B=60°,∴∠AOC=∠AIC=120°. ∴A,O,I,C四点共圆.圆心为弧AC的中点F,半径为R. ∴O为⊙F的弧AC中点,设OF延长线交⊙F于H,AI延长线交弧BC于D. 由∠EAD=90°(内外角平分线)知DE为⊙O的直径.∠OAD=∠ODA. 但∠OAI=∠OHI,故∠OHI=∠ADE, 于是Rt△DAE≌Rt△HIO, ∴AE=IO. (2)由△ACH为正三角形,易证IC+IA=IH, 由OH=2R.∴IO+IA+IC=IO+IH>OH=2R, 设∠OHI=α,则0<α<30°. ∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα+cosα)=2Rsin(α+45°), 又α+45°<75°, 故IO+IA+IC<2 R(+)×=(1+)R. |