如图所示,已知AB是⊙O的直径,C为圆上任意一点,过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q.求证:AB2=4AP·BQ.

如图所示,已知AB是⊙O的直径,C为圆上任意一点,过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q.求证:AB2=4AP·BQ.

题型:不详难度:来源:
如图所示,已知AB是⊙O的直径,C为圆上任意一点,过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q.

求证:AB2=4AP·BQ.
答案
见解析
解析

证明 法一 连接OP、OQ,如图所示.

∵AP、PQ、BQ为⊙O的切线,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
又AP、BQ为⊙O的切线,
AB为直径,∴AB⊥AP,AB⊥BQ.
∴AP∥BQ.
∴∠A=∠B=90°,
∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°.
∵∠1+∠5=90°,∴∠4=∠5.
∴△AOP∽△BQO.
.
∵AB=2AO=2OB,∴AB2=4AP·BQ.
法二 连接OC.
同上可证得∠2+∠3=90°.
∵PQ切⊙O于C,∴OC⊥PQ.
在Rt△PQO中,由射影定理可得OC2=PC·CQ,
利用切线长定理,有PC=AP,BQ=QC.
OC2=AP·BQ,∵AB=2OC,∴AB2=4AP·BQ.
法三 如图所示,过P作BQ的垂线PD,垂足为D.

∵AP、BQ、PQ切⊙O于A、B、C,
∴∠A=∠B=90°,
AP=PC,CQ=BQ.
∴四边形ABDP为矩形,
PQ=AP+BQ.∵AP=BD,AB=PD.
在Rt△PQD中,利用勾股定理得:PQ2=PD2+QD2
∴(AP+BQ)2=AB2+(BQ-AP)2.
∴4AP·BQ=AB2.
举一反三
如图所示,在△ABC中,AH⊥BC于H,E是AB的中点,EF⊥BC于F,若HC=BH,则FC∶BF等于(    )
题型:不详难度:| 查看答案
A.B.
C.D.
如图所示,AB∥GH∥CD,AB=2,CD=3,则GH的长是(    )
题型:不详难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
A.2.5B.
C.D.
若一个直角三角形的一条直角边为3 cm,斜边上的高为2.4 cm,则这个直角三角形的面积为
A.7.2 cm2B.6 cm2
C.12 cm2D.24 cm2

如图所示,AC切⊙O于D,AO的延长线交⊙O于B,且AB⊥BC,若AD∶AC=1∶2,则AO∶OB=(     )
题型:不详难度:| 查看答案
A.2∶1B.1∶1
C.1∶2D.1∶1.5
如图所示,CD切⊙O于B,CO的延长线交⊙O于A,若∠C=36°,则∠ABD的度数是(    )
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.

A.72°B.63°
C.54°D.36°