在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为 ．（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴

题型：不详难度：来源：

在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为 ．
（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最值；
（Ⅲ）请问是否存在直线 ，∥l且与曲线C的交点A、B满足；
若存在请求出满足题意的所有直线方程，若不存在请说明理由。

答案

（I）点P在直线上.
（II）当时，d取得最小值，且最小值为
当时，d取得最大值，且最大值为3
（Ⅲ）满足题意直线m有4条，方程为： 。

解析

试题分析：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）2分
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，所以点P在直线上.4分
（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，5分
从而点Q到直线的距离为
，    6分
由此得，当时，d取得最小值，且最小值为
当时，d取得最大值，且最大值为3         8分
（Ⅲ）设平行线m方程：x-y+n = 0                 9分
椭圆与直线方程联立再由弦长公式得
设O到直线m的距离为d，则        10分
 
经验证均满足题意
所以满足题意直线m有4条，方程为： 12分
点评：中档题，本题综合性较强，涉及直线与椭圆的位置关系，通过建立方程组，应用韦达定理、弦长公式等，进一步表示出三角形面积，从而建立“变量”的方程，达到解题目的。思路比较明确。