选修4-4：坐标系与参数方程从极点O作射线，交直线ρcosθ=3于点M，P为射线OM上的点，且|OM|•|OP|=12，若有且只有一个点P在直线ρsinθ-ρc

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选修4-4：坐标系与参数方程
从极点O作射线，交直线ρcosθ=3于点M，P为射线OM上的点，且|OM|•|OP|=12，若有且只有一个点P在直线ρsinθ-ρcosθ=m，求实数m的值．

答案

设P（ρ，θ），则由|OM||OP|=12得|OM|=

，∴M(

，θ)，由于点M在直线ρ^′cosθ=3上，∴

cosθ=3．
即ρ=4cosθ（ρ≠0）．
∴ρ²=4ρcosθ，化为平面直角坐标系的方程为x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4（x≠0）．
直线ρsinθ-ρcosθ=m化为平面直角坐标系的方程为y-x-m=0，
因为有且只有一个点P在直线y-x-m=0上，所以y-x-m=0和（x-2）²+y²=4（x≠0）相切，
∴

|0-2-m|

12+(-1)2

=2，解得m=-2±2

．
或直线l过原点时也满足条件，此时m=0．
总上可知：m的取值是-2±2

，或0．

举一反三

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=-

（t为参数）若以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的

，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线CΘ，求曲线CΘ上的点到直线l的距离的最小值．

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选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程
为ρsin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为

x=-2+

y=-4+

（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|²，求a的值．

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已知直线C₁：

x=1+

y=-1-

（t为参数），曲线C₂：ρ=

cos（θ+

）．
（Ⅰ）求直线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线C₁被曲线C₂所截的弦长．

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已知曲线C₁、C₂的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ＜

），求曲线C₁、C₂交点的极坐标．

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选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程

x=1+cosφ

y=sinφ

（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+

cosθ）=3

，射线OM：θ=

与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

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