过抛物线y2=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B、C、D四点.(1)求当|AB|+|CD|取最小值时直线AB、CD的倾斜角的大小(2)求

过抛物线y2=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B、C、D四点.(1)求当|AB|+|CD|取最小值时直线AB、CD的倾斜角的大小(2)求

题型:不详难度:来源:
过抛物线y2=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B、C、D四点.
(1)求当|AB|+|CD|取最小值时直线AB、CD的倾斜角的大小
(2)求四边形ACBD的面积的最小值.
答案
(1)F为极点,FX为极轴,建立极坐标系,
则抛物线的极坐标方程可写为ρ=
2
1-cosθ
…3’
设A(ρ1,θ),则B(ρ2,π+θ)
|AB|=ρ1+ρ2=
2
1-cosθ
+
2
1-cos(π+θ)
=
4
sin2θ
…2’
同理|CD|=
4
sin2(θ+
π
2
)
=
4
cos2θ
…2’
|AB|+|CD|=
4
sin2θ
+
4
cos2θ
=
4
sin2θcos2θ
=
16
sin2
…2’
故当θ=
π
4
时,|AB|+|CD|取最小值16,此时AB、CD的倾斜角分别为
π
4
4

(2)SABCD=
1
2
|AB|.|CD|=
8
sin2θcos2θ
=
32
sin2
…2’
易知:当θ=
π
4
时,(SABCDmin=32
注:若以直角坐标系求解可同样给分…4’
举一反三
(1)求在极坐标系中,以(2,
π
2
)
为圆心,2为半径的圆的参数方程;
(2)将参数方程





x=sinθ
y=cos2θ-1
(θ为参数) 化为直角坐标方程.
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附加题选做题C.(极坐标与参数方程)
在极坐标系中,已知点O(0,0),P(3


2
π
4
)
,求以OP为直径的圆的极坐标方程.
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已知圆C的参数方程为





x=1+2cosθ
y=


3
+2sinθ
(θ为系数)
,若P是圆C与x轴正半轴的交点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设过点P的圆C的切线为l,求直线l的极坐标方程.
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已知M=



3-2
2-2



α=



-1
4



,试计算:M10α
选修4-4 参数方程与极坐标
过点P(-3,0)且倾斜角为30°直线和曲线





x=t+
1
t
y=t-
1
t
 (t为参数)
相交于A、B两点.求线段AB的长.
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在极坐标系中,已知直线ρsinθ=a与圆ρ=2cosθ相切,则a的值为______.
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