设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc.
题型:不详难度:来源:
设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc. |
答案
证明:不妨设a≥b≥c>0,∴a2≥b2≥c2, 由排序原理:顺序和≥反序和,得: a3+b3≥a2b+b2a,b3+c3≥b2c+c2b,c3+a3≥a2c+c2a 三式相加得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2). 又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca. 所以2(a3+b3+c3)≥6abc, ∴a3+b3+c3≥3abc. 当且仅当a=b=c时,等号成立. |
举一反三
若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn,证明:≤()•().当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时等号成立. |
设a1,a2,…,an为正数,求证:++…++≥a1+a2+…+an. |
设a,b,c是正实数,求证:aabbcc≥(abc). |
若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是( )A.ax+cy+bz | B.bx+ay+cz | C.bx+cy+az | D.ax+by+cz |
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