设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸缩变换.(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量.(2)求逆矩阵M-1以及椭圆+=1在M-1的作用下

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设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸缩变换.
(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量.
(2)求逆矩阵M^-1以及椭圆

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程.

答案

(1) 特征值为2和3,对应的特征向量分别为

及

(2) M^-1=

x²+y²=1

解析

(1)由条件得矩阵M=

,
它的特征值为2和3,对应的特征向量分别为

及

.
(2)M^-1=

,椭圆

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程为x²+y²=1.

举一反三

已知矩阵A=

,向量α=

.
(1)求A的特征值λ₁,λ₂和对应的特征向量α₁,α₂.
(2)计算A⁵α的值.

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若矩阵A有特征值λ₁=2,λ₂=-1,它们所对应的特征向量分别为e₁=

和e₂=

.
(1)求矩阵A.
(2)求曲线x²+y²=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程.

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对任意实数x,矩阵

总存在特征向量,求m的取值范围.

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已知2×2矩阵M=

有特征值λ=-1及对应的一个特征向量e₁=

.
(1)求矩阵M.
(2)设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x²+2y²=1,求曲线C的方程.

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已知y=f(x)的图象(如图1)经A=

作用后变换为曲线C(如图2).

(1)求矩阵A. (2)求矩阵A的特征值.

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