试题分析:(1)改变行或列;(2)分两种情况考虑:①首先操作第三列,②首先操作第一行;(3)在有限次之后终止. 终止之时,必是所有的行之和与所有的列之和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,就又会继续上升,导致矛盾. 试题解析:(1)解:法1:
法2:
法3:
(2)每一列所有数之和分别为2,0,,0,每一行所有数之和分别为,1; ①如果首先操作第三列,则有 则第一行之和为,第二行之和为, 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以或, 当时,则接下只能操作第一行, 此时每列之和分别为, 必有,解得, 当时,则接下操作第二行, 此时第4列之和为负,不符合题意. ②如果首先操作第一行,则有 则每一列之和分别为,,,, 当时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉, 当时,,至少有一个为负数, 所以此时必须有,即,所以或, 经检验,或符合要求, 综上:. (3)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行之和与所有的列之和均为非负实数. 证明如下: 记数表中第行第列的实数为(),各行的数字之和分别为,各列的数字之和分别为,,,数表中个实数之和为,则.记
. 按要求操作一次时,使该行的行之和(或该列的列之和)由负变正,都会引起(和)增大,从而也就使得增加,增加的幅度大于等于,但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止. 终止之时,必是所有的行之和与所有的列之和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,就又会继续上升,导致矛盾,故结论成立. |