若矩阵A有特征向量i=（ 10）和j=（ 01），且它们所对应的特征值分别为λ1=2，λ2=-1．（1）求矩阵A及其逆矩阵A-1；（2）求逆矩阵A-1的特征值及

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若矩阵A有特征向量i=（

10

）和j=（

01

），且它们所对应的特征值分别为λ₁=2，λ₂=-1．
（1）求矩阵A及其逆矩阵A^-1；
（2）求逆矩阵A^-1的特征值及特征向量；
（3）对任意向量α=（

xy

），求（（A^-1）²⁰α．

答案

（1）设矩阵M=

a b c d

，这里a，b，c，d∈R，
则

a b c d

1   0

=2

1   0

，

a b c d

0   1

=-

0   1

，解得a=2，b=0，c=0，d=-1
∴A=

2 0 0 -1

，A^-1=

1 2 0 0 -1

（2）A^-1特征多项式f（λ）=

λ- 1 2 0 0 -1

=（λ-

1

2

）（λ+1）=0，得λ=

1

2

，或λ=-1，
当λ=

1

2

时，对应的特征向量为

1   0

；当λ=-1时，对应的特征向量为

0   1

；
（3）由α=x

1   0

+y

0   1

，
∴（（A^-1）²⁰α=x

λ

201

1   0

+y

λ

202

0   1

=

x 220   y

．