某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB>AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，A

题型：不详难度：来源：

某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB>AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．

(1)设AB＝x(米)，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
(2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
(3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

答案

（1）y＝2(1－)，1<x<2.
（2）长为米，宽为(2－)米时，节能效果最好
（3）薄板长为米，宽为(2－)米时，制冷效果最好

解析

解：(1)由题意，AB＝x，BC＝2－x.
x>2－x，故1<x<2.
设DP＝y，则PC＝x－y.
又△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.
由PA²＝AD²＋DP²，
得(x－y)²＝(2－x)²＋y²，
y＝2(1－)，1<x<2.
(2)记△ADP的面积为S₁，
则S₁＝(1－)(2－x)＝3－(x＋)≤3－2，
当且仅当x＝∈(1,2)时，S₁取得最大值．
故当薄板长为米，宽为(2－)米时，节能效果最好．
(3)记凹多边形ACB′PD的面积为S₂，
则S₂＝x(2－x)＋(1－)(2－x)＝3－(x²＋)(1<x<2)，
于是S′₂＝－ (2x－)＝＝0，得x＝.
关于x的函数S₂在(1，)上单调递增，在(，2)上单调递减，所以当x＝时，S₂取得最大值．
故当薄板长为米，宽为(2－)米时，制冷效果最好．