(12分)(2011•湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米
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(12分)(2011•湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数. (Ⅰ)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x•v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时). |
答案
(I) 函数v(x)的表达式 (II) 当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为3333辆/小时. |
解析
试题分析:(I)根据题意,函数v(x)表达式为分段函数的形式,关键在于求函数v(x)在20≤x≤200时的表达式,根据一次函数表达式的形式,用待定系数法可求得; (II)先在区间(0,20]上,函数f(x)为增函数,得最大值为f(20)=1200,然后在区间[20,200]上用基本不等式求出函数f(x)的最大值,用基本不等式取等号的条件求出相应的x值,两个区间内较大的最大值即为函数在区间(0,200]上的最大值. 解:(I) 由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60;当20<x≤200时,设v(x)=ax+b 再由已知得,解得 故函数v(x)的表达式为 (II)依题并由(I)可得 当0≤x<20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200 当20≤x≤200时, 当且仅当x=200﹣x,即x=100时,等号成立. 所以,当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值. 综上所述,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值为, 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为3333辆/小时. 答:(I) 函数v(x)的表达式 (II) 当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为3333辆/小时. 点评:本题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力,属于中等题. |
举一反三
(5分)(2011•陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A.(1)和(20) | B.(9)和(10) | C.(9)和(11) | D.(10)和(11) |
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下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )A.f(x)=|x| | B.f(x)=x-|x| | C.f(x)=x+1 | D.f(x)=-x |
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[2012·江苏高考]已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为________. |
[2014·沈阳模拟]若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )
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[2014·上海模拟]某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A.略有盈利 | B.略有亏损 | C.没有盈利也没有亏损 | D.无法判断盈亏情况 |
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