提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(km/h)是车流密度x(辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/k
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提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(km/h)是车流密度x(辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/k
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提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(km/h)是车流密度x(辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/km时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/km时,车流速度为60km/h,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出其最大值.(精确到1辆/小时)
答案
(1)v(x)=
(2)车流密度为100辆/km时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/h.
解析
(1)由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60;当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b.
再由已知,得
解得
故函数v(x)的表达式为v(x)=
(2)依题意并由(1)可得f(x)=
当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200;
当20≤x≤200时,f(x)=
x(200-x)≤
2
=
,
当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.
所以,当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值
.
综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值
≈3333,
即当车流密度为100辆/km时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/h
举一反三
设函数f(x)=
其中b>0,c∈R.当且仅当x=-2时,函数f(x)取得最小值-2.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若方程f(x)=x+a(a∈R)至少有两个不相同的实数根,求a取值的集合.
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定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a·
+
.
(1)当a=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
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设函数f(x)=
(a<0)的定义域为D,若所有点(s,f(t))(s、t∈D)构成一个正方形区域,则a的值为________.
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已知函数
,若
,
,则
与
的大小关系为___________.
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关于函数
,有以下命题:①函数
的图像关于
轴对称;②当
时
是增函数,当
时,
是减函数;③函数
的最小值为
;④当
或
时,
是增函数;⑤
无最大值 ,也无最小值。其中正确的命题是:__________.
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