设二次函数,对任意实数,有恒成立;数列满足.(1)求函数的解析式和值域;(2)证明:当时,数列在该区间上是递增数列;(3)已知,是否存在非零整数,使得对任意,都

设二次函数,对任意实数,有恒成立;数列满足.(1)求函数的解析式和值域;(2)证明:当时,数列在该区间上是递增数列;(3)已知,是否存在非零整数,使得对任意,都

题型:不详难度:来源:
设二次函数,对任意实数,有恒成立;数列满足.
(1)求函数的解析式和值域;
(2)证明:当时,数列在该区间上是递增数列;
(3)已知,是否存在非零整数,使得对任意,都有
 恒成立,若存在,求之;若不存在,说明理由.
答案
(1),值域为;(2)证明见解析;(3)存在,且
解析

试题分析:(1)这是一个不等式恒成立问题,把不等式转化为恒成立,那么这一定是二次不等式,恒成立的条件是可解得,从而得到的解析式,其值域也易求得;(2)要证明数列在该区间上是递增数列,即证,也即,根据的定义,可把化为关于的二次函数,再利用,可得结论;(3)这是一道存在性问题,解决问题的方法一般是假设存在符合题意的结论,本题中假设存在,使不等式成立,为了求出,一般要把不等式左边的和求出来,这就要求我们要研究清楚第一项是什么?这个和是什么数列的和?由,从而
,不妨设,则),对这个递推公式我们可以两边取对数把问题转化为,这是数列的递推公式,可以变为一个等比数列,方法是上式可变为,即数列是公比为2的等比数列,其通项公式易求,反过来,可求得,从而求出不等式左边的和,化简不等式.
试题解析:(1)由恒成立等价于恒成立,
从而得:,化简得,从而得,所以
3分
其值域为.                                        4分
(2)解:  
6分
, 8分
从而得,即,所以数列在区间上是递增数列.    10分
(3)由(2)知,从而
,即
12分
,则有
从而有,可得,所以数列为首项,公比为的等比数列,
从而得,即
所以
所以,所以
所以,
.
,所以,恒成立.       15分
为奇数时,即恒成立,当且仅当时,有最小值为.       16分
为偶数时,即恒成立,当且仅当时,有最大值为.      17分
所以,对任意,有.又非零整数,      18分的数列通项公式,等比数列的前项和.
举一反三
设函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①上是单调函数;②上的值域是,则称区间是函数的“和谐区间”.下列结论错误的是(   )
A.函数)存在“和谐区间”
B.函数)不存在“和谐区间”
C.函数)存在“和谐区间”
D.函数)不存在“和谐区间”

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已知函数的图像关于原点对称,且
(1)求函数的解析式;
(2)解不等式
(3)若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.
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上的奇函数,当时,,则当时,(   )
A.B.
C.D.

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根据表格中的数据,可以断定方程的一个根所在的区间是(  )

-1
0
1
2
3

0.37
1
2.72
7.39
20.09

1
2
3
4
5
 
A.(-1,0)   B.(0,1)     C.(1,2)     D.(2,3)
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某校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当班人数除以10的余数大于6时,再增选一名代表,则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数表示不大于的最大整数,如)可表示为(  )
A.B.C.D.

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