(14分)已知函数,其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2.(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若
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(14分)已知函数,其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2.(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若
题型:不详
难度:
来源:
(14分)已知函数
,其中a是实数.设A(x
1
,f(x
1
)),B(x
2
,f(x
2
))为该函数图象上的两点,且x
1
<x
2
.
(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x
2
<0,证明:x
2
﹣x
1
≥1;
(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)函数f(x)的单调减区间(﹣∞,﹣1),函数f(x)的单调增区间[﹣1,0),(0,+∞)
(Ⅱ)见解析
(Ⅲ)(﹣ln2﹣1,+∞)
解析
(I)函数f(x)的单调减区间(﹣∞,﹣1),函数f(x)的单调增区间[﹣1,0),(0,+∞);
(II)由导数的几何意义知,点A处的切线的斜率为f′(x
1
),点B处的切线的斜率为f′(x
2
),
函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,有f′(x
1
)f′(x
2
)=﹣1,
当x<0时,(2x
1
+2)(2x
2
+2)=﹣1,∵x
1
<x
2
<0,∴2x
1
+2<0,2x
2
+2>0,
∴x
2
﹣x
1
=
[﹣(2x
1
+2)+(2x
2
+2)]≥
=1,
∴若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,有x
2
﹣x
1
≥1;
(III)当x
1
<x
2
<0,或0<x
1
<x
2
时,f′(x
1
)≠f′(x
2
),故x
1
<0<x
2
,
当x
1
<0时,函数f(x)在点A(x
1
,f(x
1
))处的切线方程为y﹣(x
+2x
1
+a)=(2x
1
+2)(x﹣x
1
);
当x
2
>0时,函数f(x)在点B(x
2
,f(x
2
))处的切线方程为y﹣lnx
2
=
(x﹣x
2
);
两直线重合的充要条件是
,
由①及x
1
<0<x
2
得0<
<2,由①②得a=lnx
2
+(
)
2
﹣1=﹣ln
+
(
)
2
﹣1,
令t=
,则0<t<2,且a=
t
2
﹣t﹣lnt,设h(t)=
t
2
﹣t﹣lnt,(0<t<2)
则h′(t)=
t﹣1﹣
=
,∴h(t)在(0,2)为减函数,
则h(t)>h(2)=﹣ln2﹣1,∴a>﹣ln2﹣1,
∴若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,a的取值范围(﹣ln2﹣1,+∞).
举一反三
(5分)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x
2
﹣4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是
.
题型:不详
难度:
|
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设函数
(1)记集合
,则
所对应的
的零点的取值集合为
.
(2)若
______.(写出所有正确结论的序号)
①
②
③若
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,其中常数a > 0.
(1) 当a = 4时,证明函数f(x)在
上是减函数;
(2) 求函数f(x)的最小值.
题型:不详
难度:
|
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设函数
定义域为
,且
.设点
是函数图像上的任意一点,过点
分别作直线
和
轴的垂线,垂足分别为
.
(1)写出
的单调递减区间(不必证明);
(2)问:
是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,则说明理由;
(3)设
为坐标原点,求四边形
面积的最小值.
题型:不详
难度:
|
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(Ⅰ)已知函数
,若存在
,使得
,则称
是函数
的一个不动点,设二次函数
.
(Ⅰ) 当
时,求函数
的不动点;
(Ⅱ) 若对于任意实数
,函数
恒有两个不同的不动点,求实数
的取值范围;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,若函数
的图象上
两点的横坐标是函数
的不动点,且直线
是线段
的垂直平分线,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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