已知函数,其中常数a > 0.(1) 当a = 4时,证明函数f(x)在上是减函数;(2) 求函数f(x)的最小值.
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已知函数,其中常数a > 0.(1) 当a = 4时,证明函数f(x)在上是减函数;(2) 求函数f(x)的最小值.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
,其中常数a > 0.
(1) 当a = 4时,证明函数f(x)在
上是减函数;
(2) 求函数f(x)的最小值.
答案
解:(1) 当
时,
,利用“定义法”证明。
(2)
解析
试题分析:
思路分析:(1) 当
时,
,利用“定义法”证明。执行“设、算、证、结”。
(2)应用均值定理及“对号函数”的单调性,分
,即
和
,即
两种情况讨论得到:
。
解:(1) 当
时,
,
任取0<x
1
<x
2
≤2,则f(x
1
)–f(x
2
)=
因为0<x
1
<x
2
≤2,所以f(x
1
)–f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
)
所以函数f(x)在
上是减函数;
(2)
,当且仅当
时等号成立,
当
,即
时,
的最小值为
,
当
,即
时,
在
上单调递减,
所以当
时,
取得最小值为
,
综上所述:
点评:中档题,本题综合性较强,研究函数的单调性,可以利用导数,也可以利用常见函数的单调性。应用均值定理,要注意“一正,二定,三相等”。
举一反三
设函数
定义域为
,且
.设点
是函数图像上的任意一点,过点
分别作直线
和
轴的垂线,垂足分别为
.
(1)写出
的单调递减区间(不必证明);
(2)问:
是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,则说明理由;
(3)设
为坐标原点,求四边形
面积的最小值.
题型:不详
难度:
|
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(Ⅰ)已知函数
,若存在
,使得
,则称
是函数
的一个不动点,设二次函数
.
(Ⅰ) 当
时,求函数
的不动点;
(Ⅱ) 若对于任意实数
,函数
恒有两个不同的不动点,求实数
的取值范围;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,若函数
的图象上
两点的横坐标是函数
的不动点,且直线
是线段
的垂直平分线,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
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下列对应关系f中,不是从集合A到集合B的映射的是( )
A.A=
,B=(0,1),f:求正弦;
B.A=R,B=R,f:取绝对值
C.A=
,B=R,f:求平方;
D.A=R,B=R,f:取倒数
题型:不详
难度:
|
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渔场中鱼群的最大养殖量是m吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量。已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率乘积成正比,比例系数为k(k>0).
写出y关于x的函数关系式,指出这个函数的定义域;
求鱼群年增长量的最大值;
当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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设函数
的定义域为D,如果
,使
(C为常数
成立,则称函数
在D上的均值为C. 给出下列四个函数:①
;②
;③
;④
,则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
题型:不详
难度:
|
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