定义域为的偶函数,对,有,且当 时,,若函数在上至少有三个零点,则的取值范围是( )A.B.C.D.
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定义域为的偶函数,对,有,且当 时,,若函数在上至少有三个零点,则的取值范围是( )A.B.C.D.
题型:不详
难度:
来源:
定义域为
的偶函数
,对
,有
,且当
时,
,若函数
在
上至少有三个零点,则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案
A
解析
试题分析:根据定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R,有f(x+2)=f(x)+f(1),可以令x=-1,求出f(1),再求出函数f(x)的周期为2,当x∈[2,3]时,f(x)=-2x
2
+12x-18,画出图形,根据函数y=f(x)-log
a
(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,利用数形结合的方法进行求解;解:因为 f(x+2)=f(x)+f(1),且f(x)是定义域为R的偶函数
令x="-1" 所以 f(-1+2)=f(-1)+f(1),f(-1)=f(1)即 f(1)="0" 则有,f(x+2)=f(x)f(x)是周期为2的偶函数,当x∈[2,3]时,f(x)=-2x
2
+12x-18=-2(x-3)
2
图象为开口向下,顶点为(3,0)的抛物线,∵函数y=f(x)-log
a
(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,∵f(x)≤0,∴g(x)≤0,可得a<1,要使函数y=f(x)-log
a
(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,令g(x)=log
a
(|x|+1),
如图要求g(2)>f(2),可得就必须有 log
a
(2+1)>f(2)=-2,∴可得log
a
3>-2,∴3>
,解得-
<a<
又a>0,∴0<a<
故选A;
点评:此题主要考查函数周期性及其应用,解题的过程中用到了数形结合的方法,这也是高考常考的热点问题,此题是一道中档题;
举一反三
设
f(x)
为定义在R上的奇函数,当
时,
(
为常数),则
( )
A.3
B.1
C.-1
D.-3
题型:不详
难度:
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对于函数
(1)探索函数
的单调性;
(2)是否存在实数
,使函数
为奇函数?
题型:不详
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已知函数
的图象在与
轴交点处的切线方程是
.
(Ⅰ)求函数
的解析式;
(Ⅱ)设函数
,若
的极值存在,求实数
的取值范围以及当
取何值时函数
分别取得极大和极小值.
题型:不详
难度:
|
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定义在
上的函数
同时满足性质:①对任何
,均有
成立;②对任何
,当且仅当
时,有
.则
的值为
.
题型:不详
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设
,函数
的图像与函数
的图像关于点
对称.
(1)求函数
的解析式;
(2)若关于
的方程
有两个不同的正数解,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
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