偶函数满足，当时, ，则关于的方程在上解的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4

题型：不详难度：来源：

偶函数满足，当时, ，则关于的方程在上解的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案

D  

解析

试题分析：∵f（x-1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），
∴原函数的周期T=2，又∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
又∵x∈[0，1]时，，函数的周期为2，
∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）。
设y₁=f(x) ，y₂=，方程根的个数，即为函数y₁=f(x) ，y₂= y₂=的图象交点的个数．
由以上条件，可画出y₁=f(x) ，y₂=的图象，

当x=时，y₁＞y₂，当x=1时，y₁＜y₂，
故在（，1）上有一个交点．
结合图象可得在[0，3]上y₁=f（x），y₂=共有4个交点，
∴在[0，3]上，原方程有4个根，故选D．
点评：难题，本题综合考查函数的奇偶性、周期性、单调性，函数的图象，函数零点的概念，一次函数、指数函数的图象和性质。由已知条件确定函数的性质是解题的关键。