(本小题满分12分)设函数,曲线在点处的切线方程.(1)求的解析式,并判断函数的图像是否为中心对称图形?若是,请求其对称中心;否则说明理由。(2)证明:曲线上任

(本小题满分12分)设函数,曲线在点处的切线方程.(1)求的解析式,并判断函数的图像是否为中心对称图形?若是,请求其对称中心;否则说明理由。(2)证明:曲线上任

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)
设函数,曲线在点处的切线方程
(1)求的解析式,并判断函数的图像是否为中心对称图形?若是,请求其对称中心;否则说明理由。
(2)证明:曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
(3) 将函数的图象向左平移一个单位后与抛物线为非0常数)的图象有几个交点?(说明理由)
答案
(1) 的图像是以点为中心的中心对称图形.
(2) 三角形的面积为定值
(3) 由三次函数的图象是连续的可知F(x)至少有一零点                           
在R上为减函数(减函数至多有一个零点),
所以此时F(x)有且只有一个零点;
解析

试题分析:解:(1),                                      
曲线在点处的切线方程为y=3,
于是                解得        
,故.                                       
,满足,所以是奇函数     
所以,其图像是以原点(0,0)为中心的中心对称图形.                       
而函数的图像按向量平移,即得到函数的图像,
故函数的图像是以点为中心的中心对称图形.                        
(2)证明:在曲线上任取一点.  由知,     
过此点的切线方程为.               
,切线与直线交点为.                 
,切线与直线交点为
直线与直线的交点为.                                  
从而所围三角形的面积为.  
所以,所围三角形的面积为定值.                                        
(3)将函数的图象向左平移一个单位后得到的函数为,
它与抛物线的交点个数等于方程=的解的个数          
法一:
(解的个数,(易知0不是其解,不产生增根)  
的零点(与x轴交点的横坐标)的个数    

由三次函数的图象是连续的可知F(x)至少有一零点                             11分

在R上为减函数(减函数至多有一个零点),
所以此时F(x)有且只有一个零点;
点评:解决的关键是能结合导数的几何意义表示切线方程,进而分析函数的零点个数,需要对于a分类讨论得到,属于中档题。
举一反三
若函数 (A>0)在处取最大值,则 (  )
A.一定是奇函数B.一定是偶函数
C.一定是奇函数D.一定是偶函数

题型:不详难度:| 查看答案
(本小题满分12分)
已知函数是定义域为的奇函数,(1)求实数的值;(2)证明上的单调函数;(3)若对于任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
(满分14分) 定义在上的函数同时满足以下条件:
上是减函数,在上是增函数;②是偶函数;
处的切线与直线垂直.
(1)求函数的解析式;
(2)设,求函数上的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知f(x)=x-2(x<0),则f(x)的最大值为            
题型:不详难度:| 查看答案
(本题满分14分)
已知函数的图象关于原点对称,且.
(1)求函数的解析式;
(2)若在[-1,1]上是增函数,求实数的取值范围
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.