试题分析:(Ⅰ)因为 当时,, 解得到;解得到或.所以在上的单调减区间为, :单调增区间为 ………………4分 (Ⅱ)①当时,由(Ⅰ)知在和上单调递减,在上单调递增,从而在处取得极大值. 又,所以在上的最大值为2.……………………6分 ②当时,,当时,在上单调递增,所以在上的最大值为.所以当时,在上的最大值为;当时,在上的最大值为2. …………………………8分 (Ⅲ)假设曲线上存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,则只能在轴的两侧,不妨设,则,且. …9分 因为是以为直角顶点的直角三角形,所以, 即:(1) ……………………………………10分 是否存在点等价于方程(1)是否有解. 若,则,代入方程(1)得:,此方程无解.…11分 若,则,代入方程(1)得到: ……12分 设,则在上恒成立.所以在上单调递增,从而,即有的值域为(不需证明),所以当时,方程有解,即方程(1)有解. 所以,对任意给定的正实数,曲线上存在两点,使得△是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上. …………………14分 点评:研究函数中的单调性以及最值问题,一般运用导数的思想,结合导数的符号来判定,进而确定结论,属于中档题。 |