已知在区间上是增函数,实数a组成几何A,设关于x的方程的两个非零实根,实数m使得不等式使得对任意及恒成立,则m的解集是( )A.B.C.D.
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已知在区间上是增函数,实数a组成几何A,设关于x的方程的两个非零实根,实数m使得不等式使得对任意及恒成立,则m的解集是( )A.B.C.D.
题型:不详
难度:
来源:
已知
在区间
上是增函数,实数a组成几何A,设关于x的方程
的两个非零实根
,实数m使得不等式
使得对任意
及
恒成立,则m的解集是( )
A.
B.
C.
D.
答案
A
解析
试题分析:∵f(x)在[-1,1]上是增函数,
∴f"(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,
即x
2
-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立.①
设φ(x)=x
2
-ax-2,
方法一:①⇔φ(1)=1-a-2≤0且φ(-1)=1+a-2≤0⇔-1≤a≤1,
∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f"(-1)=0以及当a=-1时,f"(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
方法二:
①⇔
,φ(-1)=1+a-2≤0或
,φ(1)=1-a-2≤0⇔0≤a≤1或-1≤a≤0
⇔-1≤a≤1.
∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f"(-1)=0以及当a=-1时,f"(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
由
=
,得x
2
-ax-2=0,∵△=a
2
+8>0,∴x
1
,x
2
是方程x
2
-ax-2=0的两非零实根,x
1
+x
2
=a,x
1
x
2
=-2,从而|x
1
-x
2
|==
=
∵-1≤a≤1,∴|x
1
-x
2
|=
≤3.
要使不等式m
2
+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m
2
+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m
2
+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立.②
设g(t)=m
2
+tm-2=mt+(m
2
-2),
方法一:
②⇔g(-1)=m
2
-m-2≥0,g(1)=m
2
+m-2≥0,
⇔m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m
2
+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.
方法二:
当m=0时,②显然不成立;
当m≠0时,
②⇔m>0,g(-1)=m
2
-m-2≥0或m<0,g(1)=m
2
+m-2≥0
⇔m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m
2
+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.
点评:解决该试题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系写出不等式先看成关于a的不等式恒成立再看成关于t的一次不等式恒成立,让两端点大等于零,以及函数单调递增导数大于等于零列出不等式解之
举一反三
(本题12分)
(1)求
时函数的解析式
(2)用定义证明函数在
上是单调递增
(3)写出函数的单调区间
题型:不详
难度:
|
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(本题14分)
已知
是一个奇函数.
(1)求
的值和
的值域;
(2)设
>
,若
在区间
是增函数,求
的取值范围
(3) 设
,若对
取一切实数,不等式
都成立,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)已知函数
在点
处取得极小值-4,使其导函数
的
的取值范围为(1,3)
(Ⅰ)求
的解析式及
的极大值;
(Ⅱ)当
时,求
的最大值。
题型:不详
难度:
|
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在工程技术中,常用到双曲正弦函数
和双曲余弦函数
,双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质,请类比正、余弦函数的和角或差角公式,写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式
。
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分13分)某市“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研,据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,比例常数为
.现已知相距
的
,
两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数
,
,它们连线上任意一点C处的污染指数
等于两化工厂对该处的污染指数之和.设
.
(1) 试将
表示为
的函数;
(2) 若
时,
在
处取得最小值,试求
的值.
题型:不详
难度:
|
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