定义在R上的函数，对任意的，有，且.（1）求证：；（2）求证：是偶函数.

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定义在R上的函数

，对任意的

，有

，且

.
（1）求证：

；（2）求证：

是偶函数.

答案

（1）证明略
（2）证明略

解析

(1)根据x,y取值的任意性，可令x=y=0可得2f(0)=2f²(0),又因为

,从而得

.
(2)令x=0可得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),所以f(-y)=f(y),从而可证出f(x)为偶函数

举一反三

设

的定义域是

，且

对任意不为零的实数x都满足

＝

.已知当x>0时

（1）求当x<0时，

的解析式（2）解不等式

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沪杭高速公路全长

千米.假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于

千米/时且不高于

千米/时的时速匀速行驶到杭州.已知该汽车每小时的运输成本

(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度

(千米/时)的平方成正比，比例系数为

；固定部分为200元.
(1)把全程运输成本

(元)表示为速度

(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？

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15分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间

（天）的函数，且销售量近似满足函数

（件），价格近似满足函数

（元）。
（1）试写出该种商品的日销售额

函数表达式；
（2）求该种商品的日销售额

的最大值与最小值。

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（本小题满分13分）
某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为

（

且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为

万元．
（Ⅰ）求出

的表达式；
（Ⅱ）若今年是第1年，问第几年年利润最高?最高利润为多少万元?

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A．	B．
C．	D．

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定义在R上的函数，对任意的，有，且.（1） 求证：； （2）求证：是偶函数.