已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.(Ⅰ)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);(Ⅱ)设有且仅有一

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.(Ⅰ)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);(Ⅱ)设有且仅有一

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已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
(Ⅰ)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
(Ⅱ)设有且仅有一个实数x0,使得f(x)= x0,求函数f(x)的解析表达式.
答案
解:(Ⅰ)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2 + x)=f(x)- x2 +x,
所以f(f(2)- 22+2)=f(2)-22+2.
又由f(2)=3,得f(3-22+2)-3-22+2,即f(1)=1.
若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.
(Ⅱ)因为对任意x∈R,有f(f(x))-x2 +x)=f(x)-x2 +x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.所以对任意xεR,有f(x)-x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,
又因为f(x0)- x0,所以x0-x=0,故x0=0或x0=1.
若x0=0,则f(x)- x2 +x=0,即f(x)= x2-x.
但方程x2-x=x有两上不同实根,与题设条件矛质,故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)-x2 +x=1,即f(x)= x2-x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上,所求函数为f(x)= x2-x+1(xR)
解析

举一反三
(本小题满分14分)已知函数有如下性质:如果常数>0,那么该
函数在0,上是减函数,在,+∞上是增函数.
(1)如果函数>0)的值域为6,+∞,求的值;
(2)研究函数(常数>0)在定义域内的单调性,并说明理由;
(3)对函数(常数>0)作出推广,使它们都是你所推广的
函数的特例.
(4)(理科生做)研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明),并求函数是正整数)在区间[,2]上的最大值和最小值(可利用你
的研究结论).
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下列函数式中,满足f(x+1)=f(x)的是                       (    )
A.(x+1)B.x+C.2xD.2-x

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(本小题满分12分)已知的反函数为.
(1)若,求的取值范围D;
(2)设函数,当时,求函数的值域.
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已知函数的大致图象如图所示,则函数的解析式可能为(  )
A.B.
C.D.

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,定义函数,若两两不相等,且为不小于6的偶数,则满足上述条件的不同的函数有(  )个
A.48B.54C.60D.66

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