设函数f(x)的定义域D关于原点对称,0∈D,且存在常数a>0,使f(a)=1,又,(1)写出f(x)的一个函数解析式,并说明其符合题设条件;(2)判断并
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设函数f(x)的定义域D关于原点对称,0∈D,且存在常数a>0,使f(a)=1,又,(1)写出f(x)的一个函数解析式,并说明其符合题设条件;(2)判断并
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设函数f(x)的定义域D关于原点对称,0∈D,且存在常数a>0,使f(a)=1,又
,
(1)写出f(x)的一个函数解析式,并说明其符合题设条件;
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(3)若存在正常数T,使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于x∈D都成立,则都称f(x)是周期函数,T为周期;试问f(x)是不是周期函数?若是,则求出它的一个周期T;若不是,则说明理由。
答案
(1)见解析(2)奇函数(3)见解析
解析
(1)取f(x)=tanx,定义域为{x∣x≠kπ+
,k∈Z}关于原点对称,且0∈D;
且存在常数
使得f(a)=tana=1;
又由两角差的正切公式知,符合
。 ……4分
(2)f(x)是D上的奇函数;证明如下:f(0)=0,取x
1
=0,x
2
=x,由
,
得f(-x)=-f(x),所以f(x)是D上的奇函数; ……4分
(3)考察f(x)=tanx的最小正周期T=π=4a,可猜测4a是f(x)的一个周期。
证明:由已知
,则
,
。
所以f(x)是周期函数,4a是f(x)的一个周期。 ……7分
举一反三
已知方程
的两根为
,若
,求实数
的值。
题型:不详
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|
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设函数
的定义域为
,若命题
与命题
有且仅有一个为真命题,求实数
的取值范围。
题型:不详
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已知
当点
在
的图像上运动时,点
函数
的图像上运动
。
(1)求
的表达式;
(2)若集合
{
关于
的方程
有实根,
},求集合A;
(3)设
函数
的定义域为
<
值域为
,求实数
的值。
题型:不详
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已知函数
。
(1)若函数
是
上的增函数,求实数
的取值范围;
(2)当
时,若不等式
在区间
上恒成立,求实数
的取值范围;
(3)对于函数
若存在区间
,使
时,函数
的值域也是
,则称
是
上的闭函数。若函数
是某区间上的闭函数,试探求
应满足的条件。
题型:不详
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对于函数
,若存在
,使
成立,则称点
为函数的不动点。
(1)已知函数
有不动点(1,1)和(-3,-3)求
与
的值;
(2)若对于任意实数
,函数
总有两个相异的不动点,求
的取值范围;
(3)若定义在实数集R上的奇函数
存在(有限的)
个不动点,求证:
必为奇数。
题型:不详
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