把边长为a的等边三角形铁皮如图(1)剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的底面为正三角形的直棱柱形容器(不计接缝)如图(2),设容器的
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把边长为a的等边三角形铁皮如图(1)剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的底面为正三角形的直棱柱形容器(不计接缝)如图(2),设容器的
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把边长为
a
的等边三角形铁皮如图(1)剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的底面为正三角形的直棱柱形容器(不计接缝)如图(2),设容器的高为
x
,容积为
。
(Ⅰ)写出函数
的解析式,并求出函数的定义域;
(Ⅱ)求当
x
为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积。
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)当正三棱柱形容器高为
时,容器的容积最大为
解析
(Ⅰ)因为容器的高为
x
,则做成的正三棱柱形容器的底边长为
----2分.
则
. -------------5分
函数的定义域为
. ----------------6分
(Ⅱ)实际问题归结为求函数
在区间
上的最大值点.
先求
的极值点.
在开区间
内,
-------------8分
令
,即令
,解得
.
因为
在区间
内,
可能是极值点. 当
时,
;
当
时,
. -----11分
因此
是极大值点,且在区间
内,
是唯一的极值点,所以
是
的最大值点,并且最大值
即当正三棱柱形容器高为
时,容器的容积最大为
.------14分
举一反三
已知函数
满足
,
是不为
的实常数。
(1)若函数
是周期函数,写出符合条件
的值;
(2)若当
时,
,且函数
在区间
上的值域是闭区间,求
的取值范围;
(3)若当
时,
,试研究函数
在区间
上是否可能是单调函数?若可能,求出
的取值范围;若不可能,请说明理由。
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已知函数f(x)=(|x|-b)
2
+c,函数g(x)=x+m,
(1)当b=2,m=-4时,f(x)
g(x)恒成立,求实数c的取值范围;
(2)当c=-3,m=-2时,方程f(x)=g(x)有四个不同的解,求实数b的取值范围.
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设函数f(x)的定义域D关于原点对称,0∈D,且存在常数a>0,使f(a)=1,又
,
(1)写出f(x)的一个函数解析式,并说明其符合题设条件;
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(3)若存在正常数T,使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于x∈D都成立,则都称f(x)是周期函数,T为周期;试问f(x)是不是周期函数?若是,则求出它的一个周期T;若不是,则说明理由。
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已知方程
的两根为
,若
,求实数
的值。
题型:不详
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设函数
的定义域为
,若命题
与命题
有且仅有一个为真命题,求实数
的取值范围。
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