已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f(P)，设P1（x1，y1），P2=f(P1)，P3=f(P2)，…，Pn=f(

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已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f(P)，设P₁（x₁，y₁），P₂=f(P₁)，P₃=f(P₂)，…，P_n=f(P_n-1)，…。如果存在一个圆，使所有的点P_n(x_n，y_n)(n∈N*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P_n(x_n，y_n)的一个收敛圆。特别地，当P₁=f(P₁)时，则称点P₁为映射f下的不动点，
(Ⅰ)若点P(x，y)在映射f下的象为点Q(2x，1-y)，
①求映射f下不动点的坐标；
②若P₁的坐标为(1，2)，判断点P_n(x_n，y_n)(n∈N*)是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由；
(Ⅱ)若点P(x，y)在映射f下的象为点，P₁(2，3)，求证：点P_n(x_n，y_n)(n∈N*)存在一个半径为的收敛圆。

答案

（Ⅰ）①解：设不动点的坐标为，
由题意，得，解得，
所以映射f下不动点为；
②结论：点P_n(x_n，y_n)不存在一个半径为3的收敛圆。
证明：由，得，
所以，
则点P₁，P₄不可能在同一个半径为3的圆内，
所以点P_n(x_n，y_n)(n∈N*)不存在一个半径为3的收敛圆。
（Ⅱ）证明：由，得，
由，得，
所以；
由，得，
所以，
即，
由，得，同理，
所以，
所以数列都是公比为的等比数列，首项分别为，
所以，
同理可得，
所以对任意n∈N*，，
设A（3，1），则，
所以，
故所有的点都在以A（3，1）为圆心，为半径的圆内或圆上，
即点存在一个半径为的收敛圆。