试题分析:对于①,由于函数 的周期是4,正弦函数的性质我们易得,A=[0,1]为函数的一个“和谐区间”;同时当A=[-1,0]时也是函数的一个“和谐区间”,∴不满足唯一性; 对于②,由于 =2x2-1,当A=[-1,1]时, ∈[-1,1],满足条件,且由二次函数的图象可知,满足条件的集合只有A=[-1,1]一个.∴ =2x2-1满足题意; 对于③,由指数函数的性质我们易得,M=[0,1]为函数 =|2x-1|的“和谐区间”,由指数函数的图象可和,满足条件的集合只有A=[0,1]一个.∴ =|2x-1|满足题意; 对于④,由于 =ln(x+1)单调递增,且函数的定义域为(-1,+∞),若存在“和谐区间”,则满足 ,∴m,n是方程 的两个根,设 , ,当x>0时, >0,此时函数 单调递增,当-1<x<0时, <0,此时函数 单调递减,且 ,故 =ex-x-1=0有且只有一个解,故 =ln(x+1)不存在“可等域区间”.故存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为:②③.故选:D. |