已知数列{an}的各项均为正整数,且满足an+1=an2-2nan+2(n∈N*),又a5=11.(1)求a1,a2,a3,a4的值,并由此推测出{an}的通项
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已知数列{an}的各项均为正整数,且满足an+1=an2-2nan+2(n∈N*),又a5=11.(1)求a1,a2,a3,a4的值,并由此推测出{an}的通项
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的各项均为正整数,且满足a
n+1
=a
n
2
-2na
n
+2(n∈N
*
),又a
5
=11.
(1)求a
1
,a
2
,a
3
,a
4
的值,并由此推测出{a
n
}的通项公式(不要求证明);
(2)设b
n
=11-a
n
,S
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
,S
n
′=|b
1
|+|b
2
|+…+|b
n
|,求
lim
n→∞
S
n
S
n
′
的值.
答案
(1)由a
5
=11,得11=a
4
2
-8a
4
+2,即a
4
2
-8a
4
-9=0.解得a
4
=9或a
4
=-1(舍).
由a
4
=9,得a
3
2
-6a
3
-7=0.
解得a
3
=7或a
3
=-1(舍).
同理可求出a
2
=5,a
1
=3.
由此推测a
n
的一个通项公式a
n
=2n+1(n∈N
*
).
(2)b
n
=11-a
n
=10-2n(n∈N
*
),可知数列{b
n
}是等差数列.
S
n
=
n(
b
1
+
b
n
)
2
=
n(8+10-2n)
2
=-n
2
+9n.
当n≤5时,S
n
′=S
n
=-n
2
+9n;
当n>5时,S
n
′=-S
n
+2S
5
=-S
n
+40=n
2
-9n+40.
当n≤5时,
S
n
S
n
′
=1;
当n>5时,
S
n
S
n
′
=
-
n
2
+9n
n
2
-9n+40
.
∴
lim
n→∞
S
n
S
n
′
=
lim
n→∞
-
n
2
+9n
n
2
-9n+40
=-1.
举一反三
在数列{a
n
}中,若a
1
,a
2
是正整数,且a
n
=|a
n-1
-a
n-2
|,n=3,4,5,…,则称{a
n
}为“绝对差数列”.
(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);
(Ⅱ)若“绝对差数列”{a
n
}中,a
20
=3,a
21
=0,数列{b
n
}满足b
n
=a
n
+a
n+1
+a
n+2
,n=1,2,3,…,分别判断当n→∞时,a
n
与b
n
的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;
(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
题型:北京
难度:
|
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当
(x
x
-
1
x
)
6
的展开式的第5项的值等于
15
2
时,x=______,此时
lim
n→∞
(
1
x
+
1
x
2
+…+
1
x
n
)
=______.
题型:东城区一模
难度:
|
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等差数列{b
n
}的首项为1,公差为2,数列{a
n
}与{b
n
}且满足关系式
b
n
=
a
1
+2
a
2
+3
a
3
+…+n
a
n
1+2+3+…+n
(n∈N
*
),奇函数f(x)定义域为R,当x<0时,
f(x)=-
q
x
q
x
+p-1
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求数列{a
n
}的通项公式;
(3)若q>0,且
lim
n→∞
f(
a
n
)=0
,求证p+q>2.
题型:崇明县二模
难度:
|
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若
(
2
x
-
2
2
)
9
展开式的第7项为42,则
lim
n→∞
(x+
x
2
+…+
x
n
)
=______.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}的通项公式是
a
n
=
1
n+1
(n=1,2)
1
3
n
(n>2)
,前n项和为S
n
,则
lim
n→∞
S
n
=______.
题型:崇明县一模
难度:
|
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