已知f(x)是R上的增函数,a,b∈R.证明下面两个命题:(1)若a+b>0,则f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b);(2)若f(a)+f(b)>f(-a
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已知f(x)是R上的增函数,a,b∈R.证明下面两个命题: (1)若a+b>0,则f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b); (2)若f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),则a+b>0. |
答案
证明:(1)证明:因为a+b>0,所以a>-b,b>-a,---------------------(2分) 又因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),---------------------(4分) 由不等式的性质可知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).---------------------(5分) (2)假设a+b≤0,则a≤-b,b≤-a,---------------------(6分) 因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)≤f(-b),f(b)≤f(-a), 所以f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b),---------------------(8分) 这与已知f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)矛盾, 所以假设不正确,所以原命题成立.---------------------(10分) |
举一反三
设x>0,y>0,z>0, (Ⅰ)比较与的大小; (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,证明:++≥. |
求证:(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2. |
先阅读下列不等式的证法: 已知a1,a2∈R,a12+a22=1,求证:|a1+a2|≤. 证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,则f(x)=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,所以△=4(a1+a2)2-8≤0,故得|a1+a2|≤. 再解决下列问题: (1)若a1,a2,a3∈R,a12+a22+a32=1,求证|a1+a2+a3|≤; (2)试将上述命题推广到n个实数,并证明你的结论. |
设{an}是等差数列,an>0,公差d≠0,求证:+<+. |
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