已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.
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已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc. |
答案
证明:∵b2+c2≥2bc,a>0, ∴a(b2+c2)≥2abc ①…(5分) 同理 b(c2+a2)≥2abc ② c(a2+b2)≥2abc ③…(9分) 因为a,b,c不全相等,所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”号, 从而①、②、③三式也不能全取“=”号 ∴三式相加可得:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc…(14分) |
举一反三
已知:在△ABC内任取一点D,连接AD,BD,点E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB,求证:△DBE∽△ABC.![魔方格](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206184611-18500.png) |
已知x,y,z∈R+,求证: (1)(x+y+z)3≥27xyz; (2)(++)(++)≥9; (3)(x+y+z)(x2+y2+z2)≥9xyz. |
分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的( )A.必要条件 | B.充分条件 | C.充要条件 | D.必要或充分条件 |
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