设数列的前n项和为Sn，满足，且、、成等差数列。（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n，有。

题型：高考真题难度：来源：

设数列的前n项和为S_n，满足，且、、成等差数列。
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数n，有。

答案

解析：（Ⅰ）由，解得。
（Ⅱ）由可得（），
两式相减，可得，即，
即，
所以数列（）是一个以为首项，3为公比的等比数列
由可得，，
所以，即（），
当时，，也满足该式子，
所以数列的通项公式是。
（Ⅲ）因为，
所以，
所以，
于是。