已知曲线C:xy=1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率为的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1),点列An(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列
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已知曲线C:xy=1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率为的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1),点列An(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列
题型:安徽省月考题
难度:
来源:
已知曲线C:xy=1,过C上一点A
n
(x
n
,y
n
)作一斜率为
的直线交曲线C于另一点A
n+1
(x
n+1
,y
n+1
),点列A
n
(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{x
n
},其中
.
(1)求x
n
与x
n+1
的关系式;
(2)求证:{
}是等比数列;
(3)求证:(﹣1)
+(﹣1)
2
x
2
+(﹣1)
3
x
3
+…+(﹣1)
n
x
n
<1(n∈N,n≥1).
答案
解:(1)过C:
上一点A
n
(x
n
,y
n
)作斜率为k
n
的直线交C于另一点A
n+1
,
则
,
于是有:x
n
x
n+1
=x
n
+2
即:
.
(2)记
,
则
,
因为
,
因此数列{
}是等比数列.
(3)由(2)知:
,
.
①当n为偶数时有:(﹣1)
n﹣1
x
n﹣1
+(﹣1)
n
x
n
=
,
于是在n为偶数时有:
.
②在n为奇数时,前n﹣1项为偶数项,
于是有:(﹣1)
+(﹣1)
2
x
2
++(﹣1)
n﹣1
x
n﹣1
+(﹣1)
n
x
n
.
综合①②可知原不等式得证.
举一反三
已知函数f(x)=kx,
(1)求函数
的单调递增区间
(2)若不等式f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立,求k的取值范围;
(3)求证:
.
题型:山东省期末题
难度:
|
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已知f(x)=-
,数列{a
n
}的前n项和为S
n
,点P
n
(a
n
,-
)在曲线y=f(x)上(n∈N*)且a
1
=1,a
n
>0。
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)数列{b
n
}的前n项和为T
n
且满足
,设定b
1
的值使得数列{b
n
}是等差数列;
(3)求证:
.
题型:辽宁省期中题
难度:
|
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已知函数
,
(Ⅰ)若函数
在
时取极值,求
的单调递减区间.
(Ⅱ)证明:对任意的
,都有
.
(Ⅲ)若
,
,
,求证:
.
题型:辽宁省期中题
难度:
|
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难度:
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2
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题型:不详
难度:
|
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