解:(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞) ∵函数f(x)=ax﹣1﹣lnx,∴ ①当a≤0时,f"(x)<0,∴函数f(x)在(0,+∞)上是减函数; ②当a>0时,由f"(x)<0得,由f"(x)>0得x>, ∴函数f(x)在区间(0,)上是减函数;函数f(x)在上是增函数 (Ⅱ)不等式f(x)<0在区间上恒成立,即在区间上恒成立 令,只需g(x)在区间上的最小值g(x)min>a 即可求导函数当时,g"(x)>0,g(x)在上单调递增; 当1<x<2时,g"(x),<0,g(x)在(1,2)上单调递减 ∴g(x)在区间上的最小值是与g(2)中的较小者 ∵. ∴ ∴ ∴g(x)在区间上的最小值是 ∴a<2﹣2ln2∴实数a的取值范围为(﹣∞,2﹣2ln2); (Ⅲ),证明如下: 据(Ⅰ)知,当a=1时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增 ∴f(x)在x=1处取得极小值,且为最小值 ∴f(x)=x﹣1﹣lnx≥f(1)=0, ∴lnx≤x﹣1 故当n∈N*且n≥2时, = ∵ ∴< ∴ ∴ |