设函数f(x)=lnx﹣x+1,(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)求证:lnx≤x﹣1;(Ⅲ)证明:
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设函数f(x)=lnx﹣x+1,(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)求证:lnx≤x﹣1;(Ⅲ)证明:
题型:云南省月考题
难度:
来源:
设函数f(x)=lnx﹣x+1,
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求证:lnx≤x﹣1;
(Ⅲ)证明:
答案
解:(Ⅰ)由已知得
,
由f"(x)>0,得
,
,x>1.
∴f(x)在(1,+∞)上为减函数,在(0,1)为增函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当x=1时,f(x)
max
=﹣1+1=0.
对任意x>0,有f(x)≤0,
即lnx﹣x+1≤0.
即lnx≤x﹣1.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
,
当x≥2时,则
, ∴
,
∴
=
又
,
∴
故不等式的左边小于
,
故要证的不等式成立.
举一反三
设数列
的前n项和为S
n
,满足
,且
、
、
成等差数列。
(Ⅰ)求a
1
的值;
(Ⅱ)求数列
的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有
。
题型:高考真题
难度:
|
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数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
n+1
=a2S
n
+a
1
,其中a
2
≠0。
(I)求证:{a
n
}是首项为1的等比数列;
(II)若a
2
>-1,求证:
并给出等号成立的充要条件。
题型:高考真题
难度:
|
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已知曲线C:y=4
x
,C
n
:y=4
x+n
(n∈N+),从C上的点Q
n
(x
n
,y
n
)作x轴的垂线,交C
n
于点P
n
,再从点P
n
作y轴的垂线,交C于点Q
n+1
(x
n+1
,y
n+1
),设x
1
=1,a
n
=x
n+1
﹣x
n
,
.
(1)求数列{x
n
}的通项公式;
(2)记
,数列{c
n
}的前n项和为T
n
,
求证:
;
(3)若已知
,记数列{a
n
}的前n项和为A
n
,数列{d
n
}的前n项和为B
n
,试比较A
n
与
的大小.
题型:月考题
难度:
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已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0。
(1)求a的值;
(2)若对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx
2
成立,求实数k的最小值;
(3)证明:
(n∈N*)。
题型:高考真题
难度:
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已知曲线C:xy=1,过C上一点A
n
(x
n
,y
n
)作一斜率为
的直线交曲线C于另一点A
n+1
(x
n+1
,y
n+1
),点列A
n
(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{x
n
},其中
.
(1)求x
n
与x
n+1
的关系式;
(2)求证:{
}是等比数列;
(3)求证:(﹣1)
+(﹣1)
2
x
2
+(﹣1)
3
x
3
+…+(﹣1)
n
x
n
<1(n∈N,n≥1).
题型:安徽省月考题
难度:
|
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