设曲线在点处的切线斜率为,且.对一切实数,不等式恒成立(≠0).(1) 求的值；(2) 求函数的表达式；(3) 求证:＞．

题型：不详难度：来源：

设曲线在点处的切线斜率为,且.对一切实数,不等式恒成立(≠0).
(1) 求的值；
(2) 求函数的表达式；
(3) 求证:＞．

答案

(1)  (2)  (3) 要证原不等式，即证因为
所以
=所以

解析

试题分析：（1）由，所以     2分
（2），由，得    3分
                4分
又恒成立，则由恒成立得
，                6分
同理由恒成立也可得:       7分
综上，，所以       8分
（3）
要证原不等式，即证
因为
所以
=
所以                12分
本小问也可用数学归纳法求证。证明如下：
由
当时，左边=1，右边=，左边>右边，所以，不等式成立
假设当时，不等式成立，即
当时，
左边=
由
所以
即当时，不等式也成立。综上得
点评：函数求解析式采用的是待定系数法，由已知条件找到的关系式，期间将不等式恒成立问题转化为二次函数性质的考察，第三问在证明不等式时用到了放缩法，这种方法对学生有一定的难度