(本小题满分14分)已知数列中,,, 为该数列的前项和,且.(1)求数列的通项公式;(2)若不等式对一切正整数都成立,求正整数的最大值,并证明结论.
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(本小题满分14分)已知数列中,,, 为该数列的前项和,且.(1)求数列的通项公式;(2)若不等式对一切正整数都成立,求正整数的最大值,并证明结论.
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分)
已知数列
中,
,
,
为该数列的前
项和,且
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若不等式
对一切正整数
都成立,求正整数
的最大值,并证明结论.
答案
(1)
;
(2).当
时,
,即
,所以
.而
是正整数,所以取
。
解析
本试题主要是考查了数列的通项公式的求解,和数列与不等式的综合运用。
(1)根据
的,得到前n项和与通项公式的的关系,然后整体化简求解得到其通项公式的求解。
(2)不等式
对一切正整数
都成立,可以从特殊值入手,求解参数a的范围,然后分析得到结论。
解:(1)
………1分
又
………3分
构成以2为首项,以1为公差的等差数列。
………6分
(2).当
时,
,即
,
所以
. ………7分
而
是正整数,所以取
,下面用数学归纳法证明:
.
(1)当
时,已证; ………8分
(2)假设当
时,不等式成立,即
. ………9分
则当
时,
有
………11分
因为
即
>
所以
.
所以当
时不等式也成立.
由(1)(2)知,对一切正整数
,都有
,………13分
所以
的最大值等于25. ………14分
举一反三
用数学归纳法证明:1+
+
+
时,在第二步证明从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)
某班一信息奥赛同学编了下列运算程序,将数据输入满足如下性质:
①输入1时,输出结果是
;
②输入整数
时,输出结果
是将前一结果
先乘以3n-5,再除以3n+1.
(1) 求f(2),f(3),f(4);
(2) 试由(1)推测f(n)(其中
)的表达式,并给出证明.
题型:不详
难度:
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用数学归纳法证明不等式
的过程中,
由
递推到
时的不等式左边( )
A.增加了
项
B.增加了
项
C.增加了“
”,又减少了“
”
D.增加了
,减少了“
”
题型:不详
难度:
|
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对于不等式
某同学应用数学归纳法证明的过程如下:
(1)当
时,
,不等式成立
(2)假设
时,不等式成立,即
那么
时,
不等式成立根据(1)(2)可知,对于一切正整数
不等式都成立。上述证明方法( )
A.过程全部正确
B.
验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从
到
的推理不正确
题型:不详
难度:
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.已知数列
的各项均为正数,
,
(1)求数列
的通项公式;
(2)证明
对一切
恒成立。
题型:不详
难度:
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