试证明:不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N*且a、b、c互不相等时,均有:an+cn>2bn.
题型:不详难度:来源:
试证明:不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N*且a、b、c互不相等时,均有:an+cn>2bn. |
答案
见解析 |
解析
错解分析:应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立,不应只证明一种情况. 技巧与方法:本题中使用到结论:(ak-ck)(a-c)>0恒成立(a、b、c为正数),从而ak+1+ck+1>ak·c+ck·a. 证明:(1)设a、b、c为等比数列,a=,c=bq(q>0且q≠1) ∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)>2bn (2)设a、b、c为等差数列,则2b=a+c猜想>()n(n≥2且n∈N*) 下面用数学归纳法证明: ①当n=2时,由2(a2+c2)>(a+c)2,∴ ②设n=k时成立,即 则当n=k+1时, (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) >(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c) >()k·()=()k+1 |
举一反三
在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an,Sn,Sn-成等比数列. (1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论; (3)求数列{an}所有项的和. |
是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c) |
设实数q满足|q|<1,数列{an}满足:a1=2,a2≠0,an·an+1=-qn,求an表达式,又如果S2n<3,求q的取值范围 |
已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求数列{bn}的通项公式bn; (2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a>0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论 |
已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n),求m的最大值。 |
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