已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*).(1)试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式;(2)证明你的猜想,并求出an
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*).(1)试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式;(2)证明你的猜想,并求出an
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
1
=1,S
n
=n
2
a
n
(n∈N
*
).
(1)试求出S
1
,S
2
,S
3
,S
4
,并猜想S
n
的表达式;
(2)证明你的猜想,并求出a
n
的表达式.
答案
(1)S
n
=
(n∈N
*
)(2)a
n
=
解析
(1)解 ∵a
n
=S
n
-S
n-1
(n≥2)
∴S
n
=n
2
(S
n
-S
n-1
),∴S
n
=
S
n-1
(n≥2)
∵a
1
=1,∴S
1
=a
1
=1.
∴S
2
=
,S
3
=
=
,S
4
=
,
猜想S
n
=
(n∈N
*
).
(2)证明 ①当n=1时,S
1
=1成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N
*
)时,等式成立,即S
k
=
,
当n=k+1时,
S
k+1
=(k+1)
2
·a
k+1
=a
k+1
+S
k
=a
k+1
+
,
∴a
k+1
=
,
∴S
k+1
=(k+1)
2
·a
k+1
=
=
,
∴n=k+1时等式也成立,得证.
∴根据①、②可知,对于任意n∈N
*
,等式均成立.
又∵a
k+1
=
,∴a
n
=
.
举一反三
用数学归纳法证明:
1+
+
+…+
≥
(n∈N
*
).
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}满足S
n
=2n-a
n
(n∈N
*
).
(1)计算a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,并由此猜想通项公式a
n
;
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
题型:不详
难度:
|
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是否存在常数a、b、c使等式1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
+(n-1)
2
+…+2
2
+1
2
=an(bn
2
+c)对于一切n∈N
*
都成立,若存在,求出a、b、c并证明;若不存在,试说明理由.
题型:不详
难度:
|
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用数学归纳法证明:
,由
到
,不等式左端变化的是 ( )
A.增加
一项
B.增加
和
两项
C.增加
和
两项,同时减少
一项
D.增加
一项,同时减少
一项
题型:不详
难度:
|
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用数学归纳法证明:
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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