已知关于x的方程x2+3x-m=0的两个实数根的平方和等于11.求证:关于x的方程(k-3)x2+kmx-m2+6m-4=0有实数根.
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已知关于x的方程x2+3x-m=0的两个实数根的平方和等于11.求证:关于x的方程(k-3)x2+kmx-m2+6m-4=0有实数根. |
答案
设方程两根为x1,x2,得x1+x2=-3,x1•x2=-m, ∵两个实数根的平方和等于11, ∴x12+x22=(-3)2-2(-m)=11 ∴m=1 ∴方程(k-3)x2+kmx-m2+6m-4=0为方程(k-3)x2+kx-1+6-4=0. 即(k-3)x2+kx+1=0. 当k=3时,方程为3x+1=0,有实根; 当k≠3时,△=k2-4k+12=(k-2)2+8>0也有实根. 综上可知关于x的方程(k-3)x2+kmx-m2+6m-4=0有实数根. |
举一反三
若x1,x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个实数根,且x1,x2都大于1. (1)求实数k的取值范围; (2)若=,求k的值. |
已知关于x的实系数方程x2-2ax+a2-4a+4=0的两根分别为x1,x2,且|x1|+|x2|=3,求a的值. |
若关于x的方程4x2+5x+k=0的两根为sinθ,cosθ,请写出一个以tanθ,cotθ为两根的一元二次方程:______. |
若sinθ,cosθ是方程2x2-(+1)x+m=0的两个根,求+的值. |
一元二次方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大,另一根比-1小,则实数a的取值范围是______. |
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