设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实根x1,x2,(1)求(1+x1)(1+x2)的值;(2)求证:x1<-1且x2<-1;(3)若x1x
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设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实根x1,x2,(1)求(1+x1)(1+x2)的值;(2)求证:x1<-1且x2<-1;(3)若x1x
题型:不详
难度:
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设关于x的一元二次方程ax
2
+x+1=0(a>0)有两个实根x
1
,x
2
,
(1)求(1+x
1
)(1+x
2
)的值;
(2)求证:x
1
<-1且x
2
<-1;(3)若
x
1
x
2
∈[
1
10
,10]
,试求a的最大值.
答案
(1)∵关于x的一元二次方程ax
2
+x+1=0(a>0)有两个实根x
1
,x
2
,
由韦达定理可得x
1
+
2
=-
1
a
,x
1•
x
2
=
1
a
,
(1+x
1
)(1+x
2
)=1+x
1
+x
2
+x
1
•x
2
=1-
1
a
+
1
a
=1
(2)由方程的△≥0,可推得二次函数f(x)=ax
2
+x+1图象的对称轴
x=-
1
2a
<-1
,又由于f(-1)=a>0,
所以f(x)的图象与x轴的交点均位于(-1,0)的左侧,故得证;
(3)结合(1)的结论可得,
-
1
x
2
∈[
1
11
,
10
11
]
,
而
a=
1
x
1
x
2
=-[(-
1
x
2
)-
1
2
]
2
+
1
4
.
所以a的最大值为
1
4
.
举一反三
一元二次方程x
2
+(a
2
-1)x+(a-2)=0的一根比1大,另一根比1小,则实数a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知m,n是方程lg
2
x+lg15lgx+lg3lg5=0的两根,则mn=( )
A.-(lg3+lg5)
B.lg3lg5
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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若关于x的方程3x
2
-5x+a=0的一个根在区间(-2,0)上,另一个根在区间(1,3)上,则实数a的取值范围______.
题型:不详
难度:
|
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方程x
2
+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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若关于x的方程3tx
2
+(3-7t)x+4=0的两实根α,β满足0<α<1<β<2,则实数t的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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