【题文】已知函数f(x)=x+,且f(1)=2.(1)求;(2)判断的奇偶性;(3)函数在上是增函数还是减函数?并证明.
题型:难度:来源:
【题文】已知函数f(x)=x+
,且f(1)=2.
(1)求
;
(2)判断
的奇偶性;
(3)函数
在
上是增函数还是减函数?并证明.
答案
【答案】(1)
;(2)奇函数;(3)增函数.
解析
【解析】
试题分析:(1)根据题意将
带入
的解析式中,得到关于
的方程,进而求得
的值;(2)根据(1)得到
,再根据函数奇偶性的定义判断其奇偶性,首先确定定义域关于原点对称,其次判断
与
的关系,得到
,则原函数为奇函数;(3)根据函数单调性的定义,首先在
任取
且
,带入函数
中,用作差法比较
与
的大小,得到
所以原函数在
上为增函数.
试题解析:(1)f(1)=1+m=2,m=1. 2分
(2)f(x)=x+
,f(-x)=-x-
=-f(x),∴f(x)是奇函数. 6分
(3)设x
1、x
2是(1,+∞)上的任意两个实数,且x
1<x
2,则 7分
f(x
1)-f(x
2)=x
1+
-(x
2+
)=x
1-x
2+(
-
)
=x
1-x
2-
=(x
1-x
2)
. 10分
当1<x
1<x
2时,x
1x
2>1,x
1x
2-1>0,从而f(x
1)-f(x
2)<0,
即f(x
1)<f(x
2).
∴函数f(x)=
+x在(1,+∞)上为增函数. 12分
考点:1.函数解析式;2.函数奇偶性;3.函数单调性.
举一反三
【题文】已知
在定义域
上是增函数且为奇函数,且
,求实数
的取值范围.
【题文】已知函数
是定义域在
上的不恒为零的函数,且对于任意非零实数
满足
.
(1)求
与
的值;
(2)判断并证明
的奇偶性;
(3)若函数
在
上单调递减,求不等式
的解集.
【题文】下列函数中,既是奇函数又在定义域上为增函数的是( )
【题文】函数
的单调递减区间为
;
【题文】请仔细阅读以下材料:
已知
是定义在
上的单调递增函数.
求证:命题“设
,若
,则
”是真命题.
证明 :因为
,由
得
.
又因为
是定义在
上的单调递增函数,
于是有
. ①
同理有
. ②
由①+ ②得
.
故,命题“设
,若
,则
”是真命题.
请针对以上阅读材料中的
,解答以下问题:
(1)试用命题的等价性证明:“设
,若
,则:
”是真命题;
(2)解关于
的不等式
(其中
).
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