【题文】(本小题12分)设函数.(1)求的单调区间;(2)若="1" ,为整数,且当0时,,求的最大值.
题型:难度:来源:
【题文】(本小题12分)设函数
.
(1)求
的单调区间;
(2)若
="1" ,
为整数,且当
0时,
,求
的最大值.
答案
【答案】(1)若
,则
,此时函数
在R上单调递增;
若
,则当
时,
;当
时,
.所以函数
在
上单调递减;在
上单调递增.
(2)整数
的最大值为2.
解析
【解析】
试题分析:(1)首先根据函数
的表达式可判断其定义域,然后对其进行求导可得
,由于导函数中含有参数
,将其分为两种情况:①
,此时易判断出函数
在R上单调递增;②
,可求出其极值点,然后判断函数在极值点的左右两侧的单调性即可;
(2)首先将问题“当
0时,
”转化为“
恒成立,其中
”,即
,记
,求其导函数
,由(1)知,函数
在
上单调递增,且在
上存在唯一的零点,即
在
上存在唯一的零点.从而得出函数
的最小值并求出其取值范围,进而得出整数
的最大值.
试题解析:(1)函数
的定义域为R,所以
.
若
,则
,此时函数
在R上单调递增;
若
,则当
时,
;当
时,
.所以函数
在
上单调递减;在
上单调递增.
(2)因为
,所以
,所以当
时,
等价于
,其中
.
令
,则
.
由(1)知,函数
在
上单调递增,而
,
,所以
在
上存在唯一的零点,故
在
上存在唯一的零点.设此零点为
,则
.
当
时,
;当
时,
;所以
在
上的最小值为
.又由
可得,
,所以
,所以
,故整数
的最大值为2.
考点:1、利用导数判断函数的单调性;2、导数在研究函数的最值中的应用.
举一反三
【题文】下列四组函数中,在
上为增函数的是( )
【题文】若奇函数f(x)在区间[3,7]上是减函数且有最大值4,则f(x)在区间[-7,-3]上是( )
A.增函数且最小值为-4 |
B.增函数且最大值为-4 |
C.减函数且最小值为-4 |
D.减函数且最大值为-4 |
【题文】(12分)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)求证:f(8)=3
(2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.
【题文】设函数
是(-
,+
)上的减函数,若
,则( )
【题文】已知函数
在[-5,5]上是偶函数,且在[0,5]上是单调函数,满足
,则下列不等式一定成立的是( )
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