【题文】(12分)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.(1)求证:f(8)=3(2)求不等式f(x)

【题文】(12分)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.(1)求证:f(8)=3(2)求不等式f(x)

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【题文】(12分)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)求证:f(8)=3
(2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.
答案
【答案】(1)见证明;(2).
解析
【解析】
试题分析:(1)由f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.所以f(8)=f(4×)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)=32
(2)原不等式可化为f(x)>f(x-2)+3,由(1)得f(8)=3,所以由条件可得f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16)∵f(x)是(0,+∞)上的增函数∴解不等式可得.
试题解析: (1)证明 :由题意得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=
f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)
又∵f(2)=1       ∴f(8)=3
(2)解: 原不等式可化为f(x)>f(x-2)+3
∵f(8)=3    ∴f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16)
∵f(x)是(0,+∞)上的增函数
解得.
考点:抽象函数赋值法和解不等式.
举一反三
【题文】设函数是(-,+)上的减函数,若,则(     )
A.B.
C.D.
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【题文】已知函数在[-5,5]上是偶函数,且在[0,5]上是单调函数,满足,则下列不等式一定成立的是(    )
A.B.C.D.
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【题文】(本小题满分12分)利用单调性定义判断函数在[1,4]上的单调性并求其最值.
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【题文】(本小题满分12分)已知函数的定义域为,且对任意,都有,当时,恒成立.
求证:(1)函数是奇函数;
(2)函数上是减函数.
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【题文】给出下列命题:
①已知集合M满足,且M中至多有一个偶数,这样的集合M有6个;
②函数,在区间上为减函数,则的取值范围为
③已知函数,则
④如果函数的图象关于y轴对称,且
则当时,
其中正确的命题的序号是               
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