【题文】（本题满分14分）已知函数f（x）＝ax2－|x|＋2a－1（a为实常数）．（1）若a＝1，作函数f（x）的图象；（2）设f（x）在区间[1，2]上的最

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【题文】（本题满分14分）已知函数f（x）＝ax²－|x|＋2a－1（a为实常数）．
（1）若a＝1，作函数f（x）的图象；
（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）设h（x）＝，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

答案

【答案】（1）见解析（2） （3）

解析

【解析】
试题分析：（1）当a=1时化简函数式，由此可画出图像如下

（2）当时，，对a加以讨论，分这几种情况，结合图像，利用单调性可得
（3） 当x∈[1，2]时，依题意h（x）=ax+-1，h（x）在区间[1，2]上是增函数，由函数单调性定义可得
在区间[1，2]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则h（x₂）-h（x₁） =（x₂-x₁）＞0，
因为x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以ax₁x₂-（2a-1）＞0，即ax₁x₂＞2a-1，对a分情况讨论得：
当a=0时，上面的不等式变为0＞-1，即a=0时结论成立．
当a＞0时，x₁x₂＞，由1＜x₁x₂＜4得，≤1，解得0＜a≤1，
当a＜0时，x₁x₂＜，由1＜x₁x₂＜4得，≥4，解得
综上，实数a的取值范围为
试题解析： （1）当a=1时，
作图（如图所示）

（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1．
若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3．
若a≠0，则，f（x）图象的对称轴是直线x=
当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．
当0＜＜1，即a＞时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2．
当1≤2，即≤a≤时，g（a）=f（）=
当>2，即0＜a＜时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．
综上可得
（3）当x∈[1，2]时，h（x）=ax+-1，在区间[1，2]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则h（x₂）-h（x₁）=（ax₂+-1）-（ax₁+-1）=（x₂-x₁）（a-）=（x₂-x₁）
因为h（x）在区间[1，2]上是增函数，所以h（x₂）-h（x₁）＞0，
因为x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以ax₁x₂-（2a-1）＞0，即ax₁x₂＞2a-1，
当a=0时，上面的不等式变为0＞-1，即a=0时结论成立．
当a＞0时，x₁x₂＞，由1＜x₁x₂＜4得，≤1，解得0＜a≤1，
当a＜0时，x₁x₂＜，由1＜x₁x₂＜4得，≥4，解得
综上，实数a的取值范围为
考点：含绝对值的函数的图像和性质及分类讨论思想．