【题文】讨论函数f(x)=x+(a>0)的单调性.
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【题文】讨论函数f(x)=x+
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(a>0)的单调性.
答案
【答案】f(x)分别在(-∞,-
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]、[
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,+∞)上为增函数;f(x)分别在[-
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,0)、(0,
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]上为减函数
解析
【解析】 方法一 显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,设x
1>x
2>0,则
f(x
1)-f(x
2) =(x
1+
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)-(x
2+
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)=(x
1-x
2)·(1-
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).
∴当0<x
2<x
1≤
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时,
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>1,
则f(x
1)-f(x
2)<0,即f(x
1)<f(x
2),故f(x)在(0,
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]上是减函数.
当x
1>x
2≥
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时,0<
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326115926-97692.gif)
<1,则f(x
1)-f(x
2)>0,即f(x
1)>f(x
2),
故f(x)在[
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,+∞)上是增函数.∵f(x)是奇函数,
∴f(x)分别在(-∞,-
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]、[
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326115924-63176.gif)
,+∞)上为增函数;f(x)分别在[-
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326115924-63176.gif)
,0)、(0,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326115924-63176.gif)
]上为减函数.
方法二 由f ′(x)=1-
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=0可得x=±
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当x>
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时或x<-
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时,f ′(x)>0,∴f(x)分别在(
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,+∞)、(-∞,-
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]上是增函数.
同理0<x<
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或-
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<x<0时,f′(x)<0
即f(x)分别在(0,
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]、[-
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326115924-63176.gif)
,0)上是减函数.
举一反三
【题文】若
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,则
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;
【题文】函数
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的递减区间是高@考@资@源@网
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