【题文】函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(
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【题文】函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
答案
【答案】(1)证明见解析(2)解集为(-1,
)
解析
【解析】(1)设x
1,x
2∈R,且x
1<x
2,
则x
2-x
1>0,∴f(x
2-x
1)>1. 2分
f(x
2)-f(x
1)=f((x
2-x
1)+x
1)-f(x
1)
=f(x
2-x
1)+f(x
1)-1-f(x
1)=f(x
2-x
1)-1>0. 5分
∴f(x
2)>f(x
1).
即f(x)是R上的增函数. 7分
(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,
∴f(2)=3, 10分
∴原不等式可化为f(3m
2-m-2)<f(2),
∵f(x)是R上的增函数,∴3m
2-m-2<2, 12分
解得-1<m<
,故解集为(-1,
). 14分
举一反三
【题文】讨论函数f(x)=x+
(a>0)的单调性.
【题文】若
,则
;
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