【题文】函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时有f(x)>0.(1)求证:f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;(2)若f
题型:难度:来源:
【题文】函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时有f(x)>0.
(1)求证:f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
(2)若f(1)=1,解不等式f[log2(x2-x-2)]<2.
答案
【答案】(1)证明见解析(2)不等式的解集为{x|-2<x<-1或2<x<3
解析
【解析】(1)证明 设x
2>x
1,则x
2-x
1>0.
∵f(x
2)-f(x
1)=f(x
2-x
1+x
1)-f(x
1)=f(x
2-x
1)+f(x
1)-f(x
1)=f(x
2-x
1)>0,
∴f(x
2)>f(x
1),f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
(2)解 ∵f(1)=1,∴2="1+1=f(1)+f(1)=f(2)."
又f[log
2(x
2-x-2)]<2,∴f[log
2(x
2-x-2)]<f(2).
∴log
2(x
2-x-2)<2,于是
∴
即-2<x<-1或2<x<3.∴原不等式的解集为{x|-2<x<-1或2<x<3}.
举一反三
【题文】函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m
2-m-2)<3.
【题文】讨论函数f(x)=x+
(a>0)的单调性.
【题文】若
,则
;
最新试题
热门考点