【题文】已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),α、β为方程f(x)=x的两根,且0<α<β<,0<x<α,给出下列不

【题文】已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),α、β为方程f(x)=x的两根,且0<α<β<,0<x<α,给出下列不

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【题文】已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),α、β为方程f(x)=x的两根,且0<α<β<
0<x<α,给出下列不等式,其中成立的是                                                (   )
①x<f(x)                          ②α<f(x)                 ③x>f(x)                  ④α>f(x)
A.①④B.③④C.①②D.②④
答案
【答案】A
解析
【解析】设F(x)=f(x)-x,由已知α、β是F(x)=0的两根,∴F(x)=a(x-α)(x-β).
在x∈(0,α)时,f(x)-x=F(x)=a(x-α)(α-β).
∵a>0,x-α<0,x-β<0,∴F(x)>0.∴f(x)>x.
又a-f(x)=α-[F(x)+x]=α-x-F(x)=α-x-a(x-α)(x-β)=(α-x)[1+a(α-β)].
∵0<x<α<β<,∴aβ<1.∴1+a(x-β)=1+ax-aβ>1-aβ>0.
而α-x>0,∴α-f(x)>0.∴f(x)<α. 故选A.
举一反三
【题文】当时,函数时取得最大值,则a的取值范围是                                                      
A.B.  C. D.
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【题文】当时,函数时取得最大值,则a的取值范围是                                                      
A.B.  C. D.
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【题文】
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【题文】
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【题文】若,则的取值范围是(   )
A.B.C.D.
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